Lấy một mảnh giấy hình chữ nhật ABCD (h.1), uốn cong lại ( h.2) rồi dán
hai cạnh AB và DC với nhau sao cho điểm A dán với điểm D và điểm B dán
với điểm C. Khi đó ta được một băng giấy kín (h.3), là mô hình của một
mặt trụ.
Hình 1 Hình 2 Hình 3
* Mặt trụ có hai phía: phía trong và phía ngoài. Giả sử một con
nhện đang đứng trên mặt trụ và “dưới chân” nó, ở phía bên kia tờ giấy
có một con ruồi (h.7). Nếu con nhện muốn đi đến chỗ con ruồi thì bằng
cách nào đi nữa nó cũng phải vượt qua bờ của mặt trụ. Như vậy con
nhện và con ruồi đang đứng ở hai phía khác nhau của mặt trụ, ta thường
gọi là phía trong và phía ngoài.
Mặt cầu tuy không có bờ, nhưng vẫn có phía trong và phía ngoài. Cái áo
mà chúng ta mặc cũng có phía trong và phía ngoài (thường gọi là mặt
trái và mặt phải), nếu vô ý chúng ta có thể “mặc áo trái”, tức là phía
trong lại thành ra phía ngoài.
Nhưng đối với băng Mobius thì không như thế. Con nhện có thể tiến đến
con ruồi mà không cần phải vượt qua bờ. Điều này có thể kiểm tra dễ
dàng (h.
.
con nhện và con ruồi ở phía sau con nhện và con ruồi ở ở " phía sau"
Hình 7 Hình 8
Chúng ta có thể tô màu mặt trụ sao cho phía ngoài có màu xanh và phía
trong có màu đỏ. Đối với băng Mobius không thể làm như thế được.
Bởi vậy người ta nói rằng băng Mobius là mặt chỉ có một phía.
* Ta gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh AB và CD của hình chữ
nhật ABCD thì MN là đoạn thẳng trung bình của hình chữ nhât. Khi dán
lại để thành mặt trụ thì điểm M được dán với điểm M và đoạn thẳng MN
trở nên một đường tròn trên mặt trụ. Nếu dùng kéo để cắt măt trụ dọc
theo đường tròn đó thì thì hiển nhiên ta được hai mặt trụ tách rời
nhau (h.9)
Khi dán lại để thành giải Mobius thì điểm M cũng được dán với điểm N
và bây giờ đoạn thẳng MN trở thành một đường cong khép kín trên băng
Mobius. Bây giờ nếu cũng cắt băng Mobius theo đường cong kín ấy thì
điều gì sẽ xẩy ra ? Thật là ngạc nhiên : sau khi cắt xong ta đợc một
băng giấy khép kín chứ không phải là hai băng giấy rời nhau (h.10).
Điều này cũng dễ dàng kiểm chứng.
Hình 9 Hình 10